REPRESENTACION DE LOS RACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA
1- Representar fracciones en la recta numérica
Para ubicar fracciones en la recta numérica se divide la unidad (entero)
en segmentos iguales, como indica el denominador, y se ubica la facción según
indica el numerador.
Ejemplo de fracciones unitarias (con numerador 1) en la recta numérica:
a. Ubicar la fracción 1/2
b. Ubicar la fracción 1/5
Como puedes observar las fracciones unitarias se ubican en el primer
segmento de la recta numérica.
¿Cómo ubicar fracciones que no son unitarias?
Para ubicar fracciones que no son unitarias en la recta numérica se realiza el
mismo procedimiento anterior, es decir, se divide el entero en partes iguales
según lo que indique el denominador de la fracción. Luego, se ubica la fracción
en el segmento que está señalado en el numerador.
Por ejemplo:
RAZONES Y
PROPORCIONES
Razones y proporciones
Razón
o relación de dos cantidades es el resultado de comparar esas dos cantidades.
Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: restándolas o
dividiéndolas.
Por ello, hay dos clases de razones: razón aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente.
Razón aritmética o por diferencia
Es la diferencia indicada en dichas cantidades.
Se pueden escribir de dos maneras: separando las dos cantidades con el
signo – o con un punto. Ejemplo:
Los términos de la razón se llaman antecedente el primero y consecuente
el segundo.
En el ejemplo anterior 6 es el antecedente y 4 el consecuente.
Razón geométrica o por cociente
La razón geométrica o por cociente de dos cantidades es el cociente
indicado de dichas cantidades. Se pueden escribir de dos maneras: en forma de
fracción o separadas por el signo de división (÷), que muchas veces se
sustituye por dos puntos (:).
Proporciones
PROPORCIÓN
EQUIDIFERENCIA
Es la igualdad de dos diferencias o razones aritméticas. Es decir, dos razones
que son iguales.
PROPORCIÓN
EQUICOCIENTE.
Es la igualdad de dos razones geométricas o por cociente. Es decir, dos
razones que son iguales.
Los términos
de cada una de las razones de la proporción equidiferencia y de la
proporción equicociente reciben los nombres de medios y extremos.
Propiedades fundamentales de las
proporciones aritméticas
1.- En toda proporción equidiferencia, un extremo es igual a la suma de
los medios menos el otro extremo.
2.- En toda proporción equidiferencia, un medio es igual a la suma de
los extremos menos el otro medio.
Propiedad fundamental de las
proporciones geométricas
En toda proporción equicociente, el producto de los extremos es igual al
producto de los medios.
Ejemplos resueltos con razones y
proporciones
Recuerda que la propiedad fundamental de las proporciones es: El
producto de los medios es igual al producto de los extremos”
Por lo tanto, si desconocemos un extremo, su valor se obtiene
multiplicando los medios y dividiendo el producto entre el extremo conocido; y
si se desconoce un medio, su valor se obtiene multiplicando los extremos y
dividiendo el producto entre el medio conocido.
Otro tipo de situaciones
Que se resuelven con razones y proporciones
El paquete de jabones 5 jabones de la marca Cariño cuesta $17.50, el
paquete de 4 jabones de la marca Fresquecito cuesta $10.80, el paquete de 7
jabones de la marca Darling cuesta $26.60 y el paquete de 6 jabones de la marca
Siempre floral cuesta $32.40 ¿Cuál es el paquete que más conviene?
Para resolverlo pondremos la información en una tabla y buscaremos el
precio de un jabón en cada una de las marcas utilizando razones y proporciones.
Proporcionalidad directa entre dos magnitudes
En los ejemplos relativos al caso
de las escalas, veíamos que se relacionaban dos conjuntos: el de los tamaños de
los objetos reales y el de los tamaños de los dibujos a escala. Esa forma de
relacionarse es muy peculiar: si se toma un par de valores correspondientes, uno
de cada conjunto, se establece entre ellos una razón: justamente, la de la
escala. Y si se toma otro par de valores correspondientes, vemos que la razón
entre ellos es la misma. Y así con todos los pares de valores correspondientes
que se puedan componer.
Podemos referirnos a ambos
conjuntos como magnitudes, es decir, como entidades medibles; y a los valores
que pueden tomar sus elementos (es decir, los tamaños de los objetos reales y
de los dibujos), como medidas. Lo importante para estas dos magnitudes es lo
que decíamos ahora que, si tomamos dos pares cualesquiera de valores
relacionados, uno de cada magnitud, siempre formarán una proporción
(verifíquelo con valores del primer ejemplo de las escalas). De aquí que
podamos decir que estas dos magnitudes están relacionadas proporcionalmente.
Más precisamente, que las dos magnitudes están en una relación de
proporcionalidad directa, es decir que, si los valores de una de ellas se
multiplican o dividen por un número, los de la otra quedan multiplicados o divididos
por el mismo número. El vínculo de la relación es, justamente, la razón que
liga a los dos valores de cada par relacionado.
Hay muchas situaciones en la
matemática, en otras ciencias, en la vida diaria en las que se presentan pares
de magnitudes relacionadas proporcionalmente de una manera directa.
Son ejemplos de estos pares de
magnitudes:
·
El número de objetos (o kilos, litros, etc.) que se compran y el
precio a pagar
·
El número de manos (normales) y el número de dedos presentes
·
A una velocidad constante, el tiempo transcurrido y la distancia
recorrida
·
La masa y el peso de un objeto
·
En un cuadrado, la longitud de un lado y la medida del perímetro
·
El número de obreros y la cantidad de trabajo realizado
·
Trabajando a destajo, el número de horas trabajadas y el salario
percibido
·
La participación en el capital y la participación en las
ganancias
·
En un momento dado, las alturas de los objetos y las longitudes
de las sombras que proyectan bajo el sol.
·
Las cantidades de los ingredientes de una receta y el número de
comensales
·
La medida de ángulos a simple vista y a través de un lente de
aumento.
Representación de dos magnitudes
ligadas mediante una relación de proporcionalidad directa podemos hacerlo de
varias formas:
1.
Mediante una tabla de valores.
2.
Mediante una expresión simbólica o fórmula.
3.
Mediante una expresión verbal.
Proporcionalidad Inversa
Supongamos que queremos pintar
una casa y para ello contratamos 2 obreros. Ellos estiman que podrán pintar la
casa completamente en 6 días.
Como el tiempo no nos pareció
adecuado, entonces decidimos contratar 2 obreros más (4 en total) y estiman que
podrán pintar la casa en 3 días.
Y como aún no nos parece
suficiente, contratamos otros 2 obreros (6 en total) que estiman, podrán pintar
toda la casa en 2 días lo cual nos parece bien. Podemos reconocer 2 variables asociadas
a esto: los obreros y el tiempo. Claramente, mientras más obreros contratemos,
menos tiempo demoraran.
Esta relación se conoce como
proporcionalidad inversa, si una variable aumenta (disminuye), entonces la otra
variable disminuye (aumenta) en la misma proporción.
La clave de una proporcionalidad
inversa, es que el producto entre ambas variables se mantenga constante. En el
ejemplo de la casa, la constante es igual a 12.
De manera similar para analizar
este tipo de proporcionalidad se lleva a una tabla las correspondientes
variables, si en la medida que aumenta (disminuye) una variable la otra
disminuye (aumenta) estamos en presencia de una proporcionalidad inversa.
En el ejemplo anterior, la
variable obreros contratados y el tiempo que demoraran lo llevamos a una tabla
y observamos que en la medida que aumenta la cantidad de obreros contratados
disminuye el tiempo que demoraran.
En una proporcionalidad inversa
la razón entre dos cantidades y el recíproco de la razón de sus
correspondientes forman una proporción. Supongamos, por ejemplo, que varios
vehículos recorren una distancia de 120 km y que cada vehículo viaja a una
velocidad constante. Veamos una tabla de situaciones posibles:
Velocidad (km/h)
|
Tiempo (h)
|
30
|
4
|
40
|
3
|
80
|
1 1/2
|
100
|
1 1/5
|
Evidentemente, las magnitudes
velocidad y tiempo no están en una relación de proporcionalidad directa; por el
contrario, al aumentar los valores de una, disminuyen los de la otra, y
viceversa. En las situaciones de proporcionalidad directa, lo que se mantiene
constante es la razón entre pares de valores correspondientes. Pero descubrimos
que en las situaciones como las del ejemplo, lo que se mantiene constante es el
producto entre pares de valores correspondientes:
30 * 4= 40 * 3 = 80 * 1 1/2 = 100
* 1 1/5 = 120, siempre.
Generalizando a cualquier
situación en que se relacionan dos magnitudes, si cualquier par de valores correspondientes
a y b, c y d (donde a y c son de la primera magnitud, y b y d de la segunda)
verifican la igualdad: a*b= c *d, entonces decimos que las magnitudes se hallan
en una relación de proporcionalidad inversa, o que son inversamente
proporcionales.
En resumen, si x e y son dos
variables que se encuentran en
·
Proporcionalidad Directa, entonces se cumple que: Si una
magnitud aumenta la otra también aumenta y si una disminuye la otra también
disminuye.
·
Proporcionalidad Inversa, entonces se cumple que: Si una
magnitud aumenta la otra disminuye y si una disminuye la otra aumenta.
Videos Apoyo al Tema de Razón y Proporción
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