Octavo Grado

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

En todo triángulo existen varias características que siempre se deben cumplir, esas características hacen posible crear una serie de Teoremas que mas adelante veremos, por ahora miremos, cuáles son esas propiedades:

• Si dos lados de un triángulo tienen la misma medida, entonces los ángulos opuestos también son de igual medida.
• Si todos los lados de triángulo son iguales, entonces los ángulos interiores son iguales, por lo tanto, miden cada uno 180°/3 = 60°.
• En un triángulo, un mayor lado se opone a un mayor ángulo.
• El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
• Un lado de un triángulo es más pequeño que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. a (b + c a b) – c

·     Para todos los triángulos rectángulos se cumple que: “El área del cuadrado construida sobre el lado mayor de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos en los otros dos lados menores que esta.”

·     A un triángulo no se le puede trazar una diagonal interna, ya que la fórmula para encontrar la cantidad de diagonales de una cualquier polígono está determinada por: d= n(n-3)/2, donde d es el número de diagonales interiores de los vértices y n es el número de lados de la figura, si aplicamos al triángulo la formula, tendríamos que d = 3x(3-3)/2 = 3x0/2 = 0, lo que indica que no existen diagonales, también podríamos afirmar que de cada vértice saldría una sola línea lo que hace que sea la línea que conforma cada lado, o sea que el lado sería la misma diagonal, cosa que no tendría sentido práctico, además una diagonal por definición es una línea que une dos vértices no consecutivos, cosa que es imposible tener en un triángulo.

·     Los tres vértices o puntos que lo conforman, deben ser puntos no colineales, o sea que no pueden estar en línea.

Por todo lo anterior tenemos que salen estos Teoremas:

Teorema fundamental de los triángulos o de la suma de los ángulos interiores

La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180°

Teorema de la suma de las medidas de los ángulos exteriores

La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es 360°.

Teorema del ángulo exterior

En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él.

Teorema de la desigualdad triangular

Un lado de un triángulo siempre es menor que la suma de los otros dos (condición de existencia de un triángulo dados sus lados)

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.

Videos Apoyo al Tema de las Propiedades de los Triángulos

A este último Teorema le dedicaremos un poco más.

Retomemos su definición y hagámosla más explícita: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto)

Esta igualdad nos sirve para encontrar un lado, sabiendo el valor de los otros dos.

Vamos a ver algunas aplicaciones prácticas del Teorema de Pitágoras en los siguientes ejemplos, para calcular un lado desconocido en un triángulo rectángulo.

Se quiere sujetar un poste vertical de 5 metros de altura con un cable tirante desde su parte más alta hasta el suelo. Si la distancia desde el punto de anclaje del cable en el suelo a la base del poste es de 12 metros, ¿cuánto debe medir el cable?

Como el poste vertical es perpendicular al suelo, forma un ángulo recto con él. Si consideramos el propio poste, el cable y la distancia entre la base del poste y el punto de anclaje al suelo, tenemos un triángulo rectángulo:

Llamando x a la longitud del cable, y aplicando el Teorema de Pitágoras, se debe cumplir que:

Es decir, el cable debe medir 13 metros.

Nota: Antes de seguir, quiero dejar claro que, la ecuación de segundo grado incompleta anterior tendría dos posibles soluciones, 13 y -13, pero al tratarse de longitudes, no tiene sentido el resultado negativo.

Veamos otro ejemplo donde lo que queramos calcular no sea la hipotenusa si no uno de los dos catetos.

Una escalera de 2,5 metros está apoyada en una pared vertical. Si el pie de la escalera está colocado a medio metro de dicha pared, ¿a qué altura llega la escalera?

Al ser la pared vertical, la pared y el suelo son perpendiculares. Si consideramos la escalera, la altura que alcanza ésta, y la distancia del pie de la escalera a la pared, tenemos un triángulo rectángulo:

Llamando h a la altura que alcanza la escalera en la pared, y aplicando el Teorema de Pitágoras, se tiene que:

La escalera llega a una altura de 2,45 metros.

En los dos ejemplos que hemos visto hasta ahora formamos directamente un triángulo rectángulo, pero en muchas ocasiones la figura inicial es otra, y la construcción del triángulo rectángulo la hacemos para poder calcular alguna medida desconocida de ésta.

En el siguiente ejemplo tenemos un trapecio y vamos a utilizar un triángulo rectángulo para calcular uno de sus lados:

Calcula el perímetro del siguiente trapecio:

El perímetro del trapecio es igual a la suma de las longitudes de sus cuatro lados. Para calcularlo necesitamos primero calcular la longitud del lado inclinado, que desconocemos.

Llamando x al lado desconocido, podemos considerar el triángulo rectángulo que se muestra en la siguiente figura:

Tenemos, por tanto, un triángulo rectángulo de hipotenusa x y catetos de 15 y 10 cm. Aplicando el Teorema de Pitágoras:

El lado del trapecio que nos faltaba por saber mide 18,03 cm, por lo que el perímetro será:

El perímetro del trapecio es de 83,03 cm.

Por último, voy a poner un ejemplo de la otra posible aplicación que tiene el teorema de Pitágoras:

Comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si es un triángulo rectángulo o no.

Comprueba si los siguientes segmentos forman triángulos rectángulos:

a) 25 cm, 24 cm, 7 cm.

b) 12 cm, 15 cm, 4 cm.

Vamos con el primero.

Si es un triángulo rectángulo, se debe cumplir que el cuadrado del mayor de los tres segmentos sea igual a la suma de los cuadrados de los otros dos segmentos.

El cuadrado del segmento de mayor longitud (el segmento de 25 cm) es:

Y la suma de los cuadrados de los otros dos segmentos es:

Como podemos observar, se cumple el Teorema de Pitágoras y, por tanto, podemos afirmar que los segmentos de 25 cm, 24 cm y 7 cm forman un triángulo rectángulo.

Veamos ahora el segundo:

El cuadrado del segmento de mayor longitud, que en este caso es el segmento de 15 cm, es:

Y la suma de los cuadrados de los otros dos segmentos es:

No son iguales, por lo que no se cumple el Teorema de Pitágoras y, en consecuencia, el triángulo que forman los segmentos de 12 cm, 15 cm y 4 cm no es rectángulo.

De hecho, podemos afirmar que dichos segmentos forman un triángulo obtusángulo (tiene uno de sus ángulos obtusos, es decir, mayor de 90 grados).

¿Por qué lo sé?

Es muy sencillo. Se cumple siempre que: Si el cuadrado del lado de mayor longitud es mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados se trata de un triángulo obtusángulo (triángulo con un ángulo obtuso, mayor de 90 grados).

Si el cuadrado del lado de mayor longitud es igual que la suma de los cuadrados de los otros dos lados es un triángulo rectángulo (es lo que dice el Teorema de Pitágoras).

Y, si el cuadrado del lado de mayor longitud es menor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados se trata entonces de un triángulo acutángulo (triángulo con los tres ángulos agudos, menores de 90 grados).

Recuerda una cosa: El Teorema de Pitágoras solo se cumple en triángulos rectángulos, así que si el triángulo no es rectángulo no lo podemos utilizar. Para esta otra clase de triángulos se utilizan dos teoremas que veremos en décimo, que se conocen como el Teorema del seno y el Teorema del coseno.

Videos de Apoyo al Tema del Teorema de Pitágoras