PROPIEDADES
DE LOS TRIÁNGULOS
En todo triángulo
existen varias características que siempre se deben cumplir, esas características
hacen posible crear una serie de Teoremas que mas adelante veremos, por ahora
miremos, cuáles son esas propiedades:
- Si dos lados de un triángulo
tienen la misma medida, entonces los ángulos opuestos también son
de igual medida.
- Si todos los lados de
triángulo son iguales, entonces los ángulos interiores son iguales, por lo
tanto, miden cada uno 180°/3 = 60°.
- En un triángulo, un mayor
lado se opone a un mayor ángulo.
- El valor de un ángulo
exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
- Un lado de un triángulo es
más pequeño que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. a (b +
c a b) – c
· Para todos los triángulos rectángulos se cumple que: “El área
del cuadrado construida sobre el lado mayor de un triángulo rectángulo es igual
a la suma de las áreas de los cuadrados construidos en los otros dos lados menores
que esta.”
· A un triángulo no se le puede trazar una diagonal interna, ya
que la fórmula para encontrar la cantidad de diagonales de una cualquier
polígono está determinada por: d= n(n-3)/2, donde d es el número de diagonales
interiores de los vértices y n es el número de lados de la figura, si aplicamos
al triángulo la formula, tendríamos que d = 3x(3-3)/2 = 3x0/2 = 0, lo que
indica que no existen diagonales, también podríamos afirmar que de cada vértice
saldría una sola línea lo que hace que sea la línea que conforma cada lado, o sea
que el lado sería la misma diagonal, cosa que no tendría sentido práctico,
además una diagonal por definición es una línea que une dos vértices no consecutivos,
cosa que es imposible tener en un triángulo.
· Los tres vértices o puntos que lo conforman, deben ser puntos no
colineales, o sea que no pueden estar en línea.
Por todo lo anterior
tenemos que salen estos Teoremas:
Teorema fundamental de los triángulos o de la suma de los ángulos
interiores
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180°
Teorema de la suma de las medidas de los ángulos exteriores
La suma de las
medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es 360°.
Teorema del ángulo exterior
En todo triángulo, la
medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos
interiores no adyacentes a él.
Teorema de la desigualdad triangular
Un lado de un
triángulo siempre es menor que la suma de los otros dos (condición de
existencia de un triángulo dados sus lados)
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la medida de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.
Videos Apoyo al Tema de las Propiedades de los Triángulos
A este último Teorema le dedicaremos un poco más.
Retomemos
su definición y hagámosla más explícita: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos (los
dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto)
Esta igualdad nos sirve para encontrar un lado, sabiendo el
valor de los otros dos.
Vamos a ver algunas aplicaciones prácticas del Teorema de
Pitágoras en los siguientes ejemplos, para calcular un lado
desconocido en un triángulo rectángulo.
Se quiere sujetar un poste vertical de 5 metros de altura con un cable
tirante desde su parte más alta hasta el suelo. Si la distancia desde el punto de
anclaje del cable en el suelo a la base del poste es de 12 metros, ¿cuánto debe
medir el cable?
Como el poste vertical es
perpendicular al suelo, forma un ángulo recto con él. Si consideramos el propio
poste, el cable y la distancia entre la base del poste y el punto de anclaje al
suelo, tenemos un triángulo rectángulo:
Llamando
x a la longitud del
cable, y aplicando el Teorema de Pitágoras, se debe cumplir que:
Es decir, el cable debe medir 13 metros.
Nota: Antes de seguir, quiero
dejar claro que, la ecuación de segundo grado incompleta anterior
tendría dos posibles soluciones, 13 y -13, pero al tratarse de longitudes, no tiene sentido el resultado negativo.
Veamos otro ejemplo donde lo
que queramos calcular no sea la hipotenusa si no uno de los dos catetos.
Una escalera de 2,5 metros está
apoyada en una pared vertical. Si el pie de la escalera está colocado a medio metro
de dicha pared, ¿a qué altura llega la escalera?
Al ser la pared vertical, la
pared y el suelo son perpendiculares. Si consideramos la escalera, la altura
que alcanza ésta, y la distancia del pie de la escalera a la pared, tenemos un
triángulo rectángulo:
Llamando
h a la altura que
alcanza la escalera en la pared, y aplicando el Teorema de Pitágoras, se tiene
que:
La escalera llega a una altura
de 2,45 metros.
En los dos ejemplos que hemos
visto hasta ahora formamos directamente un triángulo rectángulo, pero en muchas
ocasiones la figura inicial es otra, y la construcción del triángulo rectángulo
la hacemos para poder calcular alguna medida desconocida de ésta.
En el siguiente ejemplo tenemos
un trapecio y vamos a utilizar un triángulo rectángulo para calcular uno de sus
lados:
Calcula el perímetro del siguiente
trapecio:
El perímetro del trapecio es
igual a la suma de las longitudes de sus cuatro lados. Para calcularlo
necesitamos primero calcular la longitud del lado inclinado, que desconocemos.
Llamando x al lado desconocido, podemos
considerar el triángulo rectángulo que se muestra en la siguiente figura:
Tenemos, por tanto, un triángulo
rectángulo de hipotenusa x y
catetos de 15 y 10 cm. Aplicando el Teorema de Pitágoras:
El lado del trapecio que nos
faltaba por saber mide 18,03 cm, por lo que el perímetro será:
El perímetro del trapecio es de
83,03 cm.
Por último, voy a poner un
ejemplo de la otra posible aplicación que tiene el teorema de
Pitágoras:
Comprobar, conocidos los tres
lados de un triángulo, si es un triángulo rectángulo o no.
Comprueba si los siguientes segmentos
forman triángulos rectángulos:
a) 25 cm, 24 cm, 7 cm.
b) 12 cm, 15 cm, 4 cm.
Vamos con el primero.
Si es un triángulo rectángulo, se
debe cumplir que el cuadrado del mayor de los tres segmentos sea igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos segmentos.
El cuadrado del segmento de mayor
longitud (el segmento de 25 cm) es:
Y la suma de los cuadrados de los
otros dos segmentos es:
Como podemos observar, se cumple el Teorema de Pitágoras y,
por tanto, podemos afirmar que los
segmentos de 25 cm, 24 cm y 7 cm forman un triángulo rectángulo.
Veamos ahora el segundo:
El cuadrado del segmento de mayor
longitud, que en este caso es el segmento de 15 cm, es:
Y la suma de los cuadrados de los
otros dos segmentos es:
No son iguales, por lo que no se cumple el Teorema de Pitágoras y,
en consecuencia, el
triángulo que forman los segmentos de 12 cm, 15 cm y 4 cm no es rectángulo.
De hecho, podemos afirmar que
dichos segmentos forman
un triángulo obtusángulo (tiene uno de sus ángulos obtusos, es
decir, mayor de 90 grados).
¿Por
qué lo sé?
Es muy sencillo. Se cumple
siempre que: Si el cuadrado del lado de mayor longitud es mayor que la suma de los
cuadrados de los otros dos lados se trata de un triángulo obtusángulo (triángulo con un ángulo
obtuso, mayor de 90 grados).
Si el cuadrado del lado de mayor
longitud es igual que la
suma de los cuadrados de los otros dos lados es un triángulo rectángulo (es lo
que dice el Teorema de Pitágoras).
Y, si el cuadrado del lado de
mayor longitud es menor
que la suma de los cuadrados de los otros dos lados se trata
entonces de un triángulo acutángulo (triángulo
con los tres ángulos agudos, menores de 90 grados).
Recuerda una cosa: El Teorema de Pitágoras solo se cumple en
triángulos rectángulos, así que si el triángulo no es rectángulo no lo podemos
utilizar. Para esta otra clase de triángulos se utilizan dos
teoremas que veremos en décimo, que se conocen como el Teorema del seno y el
Teorema del coseno.
Videos de Apoyo al Tema del Teorema de Pitágoras
No hay comentarios:
Publicar un comentario